Question

自然數(shù)a和b恰好都有99個(gè)自然數(shù)因數(shù)（包括1和改數(shù)本身），試問(wèn)，數(shù)a×b能不能恰好有1000個(gè)自然數(shù)因數(shù)（包括1和該數(shù)本身）

Answer 1

分析：根據(jù)約數(shù)個(gè)數(shù)公式：假如A里含有M個(gè)質(zhì)因數(shù)A1、N個(gè)質(zhì)因數(shù)A2、…、P個(gè)質(zhì)因數(shù)AX，即
A=A1^m×A2ⁿ×…×AX^p，則A的約數(shù)個(gè)數(shù)（包含1和本身）=（M+1）×（N+1）×…×（P+1），
自然數(shù)a含有99個(gè)因數(shù)，又因 99=3×3×11，說(shuō)明自然數(shù)a含有的各個(gè)質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都為偶數(shù)；
對(duì)b同理；因此不管a、b里有沒有質(zhì)因數(shù)重復(fù)，重復(fù)多少次，a×b的各個(gè)質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)仍然為偶數(shù)（因偶數(shù)相加奇偶性不變）；據(jù)此解答．

解答：解：假如A里含有M個(gè)質(zhì)因數(shù)A1、N個(gè)質(zhì)因數(shù)A2、…、P個(gè)質(zhì)因數(shù)AX，即
A=A1^m×A2ⁿ×…×AX^p，則A的約數(shù)個(gè)數(shù)（包含1和本身）=（M+1）×（N+1）×…×（P+1），
自然數(shù)a含有99個(gè)因數(shù)，又因 99=3×3×11，說(shuō)明自然數(shù)a含有的各個(gè)質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都為偶數(shù)；
對(duì)b同理；因此不管a、b里有沒有質(zhì)因數(shù)重復(fù)，重復(fù)多少次，a×b的各個(gè)質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)仍然為偶數(shù)（因偶數(shù)相加奇偶性不變）；因此a×b的約數(shù)個(gè)數(shù)必等于多個(gè)奇數(shù)相乘，結(jié)果必為奇數(shù)，不可能為1000．

點(diǎn)評(píng)：此題應(yīng)根據(jù)約數(shù)個(gè)數(shù)公式及數(shù)的奇偶性特點(diǎn)進(jìn)行解答．