Question

【題目】在邊長為1的正三角形中任意放入122個點(diǎn)，必有2個點(diǎn)的距離不大于，n為大于0的整數(shù)．則n的最大值為　 　．

Answer 1

【答案】11

【解析】

試題分析：要使任意兩個的點(diǎn)的距離最大必須使這些點(diǎn)均勻分布，根據(jù)抽屜原理，先把122﹣1=121個點(diǎn)，均勻的放到大等邊三角形中，那么把大等邊三角形平均分成121個小等邊三角形，在這121個小等邊三角形中各放一個點(diǎn)，再放第122個點(diǎn)，不論放到哪一個小等邊三角形里，總有兩個點(diǎn)的距離不大于，因?yàn)槊總�小等邊三角形的邊長為1÷11=，設(shè)把大等邊三角形的每個邊長n等分，那么小等邊三角形的每個邊長為，從第一等分點(diǎn)開始以次有：1、3、5、7、…個小等邊三角形；根據(jù)等差數(shù)列可得最后一個等分點(diǎn)有小等邊三角形：1+（n﹣1）×2=2n﹣1個，再根據(jù)高斯求和公式可得：（1+2n﹣1）n÷2=121，解答即可．

解：設(shè)把大等邊三角形的每個邊長n等分，那么小等邊三角形的每個邊長為，從第一等分點(diǎn)開始依次有：1、3、5、7、…個小等邊三角形；根據(jù)等差數(shù)列可得最后一個等分點(diǎn)有小等邊三角形：1+（n﹣1）×2=2n﹣1個，

列方程得（1+2n﹣1）n÷2=121，

n2=121

n=11．

故答案為：11．