Question

（本小題滿(mǎn)分14分）
在三棱錐中，和都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，分別是的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面⊥平面；
(3)求三棱錐的體積．

Answer 1

(1)見(jiàn)解析 (2) 見(jiàn)解析；
(3) 。

解析試題分析：(1)根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理，只須判定OD//PA即可.
（2）根據(jù)面面垂直的判定只須證明平面PAB即可.
（3）在（1）（2）的基礎(chǔ)上，可利用三棱錐可換底的特性知.
解：(1) 分別為的中點(diǎn)，              ·······2分
又平面，平面 
平面                      ·······4分
(2) 連結(jié) 
， , 
又為的中點(diǎn)，
，
同理,                              ·······6分
又,   ,
                             ·······8分
又 ,平面.
由于平面， 平面⊥平面                  ·······10分
(3)由（2）可知⊥平面
為三棱錐的高，且                          ·······11分
故              ·······14分
考點(diǎn)：線(xiàn)面平行，線(xiàn)面垂直，面面垂直的判定及性質(zhì)，三棱錐的體積.
點(diǎn)評(píng)：掌握線(xiàn)線(xiàn)，線(xiàn)面，面面平行與垂直的判定與性質(zhì)是解決此類(lèi)的前提，勿必熟記，同是在求三棱錐體積時(shí)，要注意可換底的特性.