Question

6．問(wèn)題背景
在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師要求同學(xué)們拿兩張大小不同的矩形紙片進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換探究活動(dòng)．如圖1，在矩形紙片ABCD和矩形紙片EFGH中，AB=1，AD=2，且EF＞AD，F(xiàn)G＞AB，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，矩形紙片EFGH以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生怎樣的數(shù)量關(guān)系，提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問(wèn)題并加以解決．
解決問(wèn)題
下面是三個(gè)學(xué)習(xí)小組提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題，請(qǐng)你解決這些問(wèn)題．
（1）“奮進(jìn)”小組提出的問(wèn)題是：如圖1，當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M，EH與BC相交于點(diǎn)N時(shí)，求證：EM=EN．
（2）“雄鷹”小組提出的問(wèn)題是：在（1）的條件下，當(dāng)AM=CN時(shí)，AM與BM有怎樣的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由．
（3）“創(chuàng)新”小組提出的問(wèn)題是；若矩形EFGH繼續(xù)以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠AEF=60°時(shí)，請(qǐng)你在圖2中畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的示意圖，并求出此時(shí)EF將邊BC分成的兩條線段的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）先判斷出PE=AE，再判斷出∠PEN=∠AEM，進(jìn)而得到△PEN≌△AEM，即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出PN=CN=$\frac{1}{2}$PC，進(jìn)而求出PN=CN=$\frac{1}{2}$，再判斷出AM=PN，即可得出BM=$\frac{1}{2}$，結(jié)論得證；
（3）在直角三角形PEM中，求出PM，再用線段的和差即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥BC，垂足為點(diǎn)P，
則四邊形ABPE是矩形，
∴PE=AB=1，∠AEP=90°，
∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴PE=AE，
∵∠MEN=∠AEP=90°，
∴∠MEN-∠MEP=∠AEP-∠MEP，
∴∠PEN=∠AEM，
∵PE=AE，∠EPN=∠EAM=90°，
∴△PEN≌△AEM，
∴EM=EN，
（2）由（1）知，△PEN≌△AEM，
∴AM=PN，
∵AM=CN，
∴PN=CN=$\frac{1}{2}$PC，
∵四邊形EPCD是矩形，
∴PC=DE=1，PN=CN=$\frac{1}{2}$，
∴AM=PN=$\frac{1}{2}$，BM=AB-AM=$\frac{1}{2}$，
∴AM=BM，
（3）如圖2，當(dāng)∠AEF=60°時(shí)，
設(shè)EF與BC交于M，EH與CD交于N，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥BC于P，連接EC，
由（1）知，CP=EP=1，AD∥BC，
∴∠EMP=∠AEF=60°，
在Rt△PEM中，PM=$\frac{EP}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BM=BP-PM=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，CM=PC+PM=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴EF將邊BC分成的兩條線段的長(zhǎng)度為1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是判斷出PE=AE，解（2）的關(guān)鍵是得出PN=CN=$\frac{1}{2}$，解（3）的關(guān)鍵是求出PM．