Question

20．如圖，⊙O的直徑AB為12點D在AB的延長線上，DC切⊙O于點C，且∠DAC=30°，則圖中陰影部分面積為18$\sqrt{3}$-6π．

Answer 1

分析 連接OC，由圓周角定理得出∠BOC=2∠DAC=60°，可求得∠D=30°，得出OD=2OC=12，由勾股定理求出CD，利用△OCD的面積-扇形BOC的面積求得陰影部分的面積．

解答 解：連接OC，如圖所示：
∵DC切⊙O于點C，
∴DC⊥OC，
∵∠BOC=2∠DAC=60°，
∴∠D=30°，
在Rt△OCD中，OC=$\frac{1}{2}$AB=6，
∴OD=2OC=12，
由勾股定理得：CD=$\sqrt{3}$OC=6$\sqrt{3}$，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC•CD=$\frac{1}{2}$×6×6$\sqrt{3}$=18$\sqrt{3}$，
∵∠COD=60°，
∴S_扇形COB=$\frac{60π×{6}^{2}}{360}$=6π，
∴S_陰影=S_△OCD-S_扇形COB=18$\sqrt{3}$-6π；
故答案為：18$\sqrt{3}$-6π．

點評 本題主要考查切線的性質、圓周角定理、直角三角形的性質、勾股定理及扇形面積的計算；熟練掌握切線的性質，連接過切點的半徑是解題的關鍵．