Question

【題目】已知：二次函數(shù)y=x2-2mx-m2＋4m-2的對(duì)稱軸為l，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

（1）判斷拋物線與x軸的交點(diǎn)情況；

（2）如圖1，當(dāng)m=1時(shí)，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，且△PCD是以PD為腰的等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，直線和拋物線交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，與l交于點(diǎn)M，且MO=MB，點(diǎn)Q（x0，y0）在拋物線上，當(dāng)m＞1時(shí)，時(shí)，求h的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或或；（3）最大值為4．

【解析】

（1）令y=0，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，求出△=8（m-1）2，即可得出結(jié)論；
（2）先求出點(diǎn)C，D坐標(biāo)，再分兩種情況，判斷出點(diǎn)P是CD的中垂線或CP的中垂線，即可得出結(jié)論；
（3）利用點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸上，和MO=BM表示出點(diǎn)B坐標(biāo)，代入拋物線解析式中，求出m，進(jìn)而得出拋物線解析式，再得出，即可得出結(jié)論．

解：（1）針對(duì)于二次函數(shù)y=x2-2mx-m2+4m-2，
令y=0，則x2-2mx-m2+4m-2=0，

∴

不論取何值，

∴拋物線與軸至少有一個(gè)交點(diǎn)（或一定有交點(diǎn)）．

（2）當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)、點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，可知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在的垂直平分線上

∵∴點(diǎn)在直線上

∴解得

∴點(diǎn)坐標(biāo)為和．

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．

（3）當(dāng)時(shí)，

∵

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則縱坐標(biāo)

點(diǎn)，

把點(diǎn)代入拋物線得：

解得，（舍去）當(dāng)時(shí)，

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，

∴

由題意知

∵

∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，

∴當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最大值4，

∴最大值為4．