Question

4．如圖，正方形ABCO放置在平面直角坐標系上，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過B，C，點D在邊AB上，連結(jié)OD，將△OAD沿著OD折疊，使點A落在此拋物線的頂點E處，若AB=2，則a的值是2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 過點E作EF⊥y軸于點F，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可得出EF=1、OE=2，利用勾股定理可求出點E的坐標，再根據(jù)點B、C、E的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出a值．

解答 解：過點E作EF⊥y軸于點F，如圖所示．
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過B、C，點E為拋物線的頂點，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC．
∵四邊形ABCO為正方形，AB=2，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=1，C（0，2），B（2，2）．
由翻折可知，AO=AE=2．
在Rt△OEF中，EF=1，OE=2，
∴OF=$\sqrt{O{E}^{2}-E{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴點E的坐標為（1，$\sqrt{3}$）．
將B（2，2）、C（0，2）、E（1，$\sqrt{3}$）代入y=ax²+bx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=2}\\{c=2}\\{a+b+c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得：a=2-$\sqrt{3}$．
故答案為：2-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、翻折變換、勾股定理以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用勾股定理求出頂點E的坐標是解題的關(guān)鍵．