Question

12．如圖，點D、E、F分別是邊長為6的等邊三角形ABC邊AB、BC、AC上的點，且AD=BE=CF．
（1）求證：△DEF是等邊三角形；
（2）當AD=2時，求△ADF的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊△ABC中AD=BE=CF，證得△ADF≌△BED≌△CFE即可得出：△DEF是等邊三角形；
（2）過F作AB的垂線，垂足為H，可得FH=AF×sin60°=（6-2）×sin60°=2$\sqrt{3}$，${S}_{△ADF}=\frac{1}{2}•AD•AF$可得答案．

解答 （1）證明：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是一個等邊三角形；

（2）解：過F作AB的垂線，垂足為H，
∵AD=BE=CF=2，
∴FH=AF×sin60°=（6-2）×sin60°=2$\sqrt{3}$，
${S}_{△ADF}=\frac{1}{2}•AD•AF$=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形判定及三角形面積公式，根據(jù)已知得出△ADF≌△BED≌△CFE是解題關(guān)鍵．