Question

2．如圖，半圓的半徑為1，AB為直徑，AC、BD為切線，AC=1，BD=2，P為$\widehat{AB}$上一動點，求$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC+PD的最小值．

Answer 1

分析 如圖當A、P、D共線時，$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC+PD最小，根據$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC+PD=PM+PD=DM=AD-AM即可計算．

解答 解：如圖當A、P、D共線時，$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC+PD最小．
理由：連接PB、CO，AD與CO交于點M，
∵AB=BD=4，BD是切線，
∴∠ABD=90°，∠BAD=∠D=45°，
∵AB是直徑，
∴∠APB=90°，
∴∠PAB=∠PBA=45°，
∴PA=PB，PO⊥AB，
∵AC=PO=2，AC∥PO，
∴四邊形AOPC是平行四邊形，
∴OA=OP，∠AOP=90°，
∴四邊形AOPC是正方形，
∴PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC+PD=PM+PD=DM，
∵DM⊥CO，
∴此時$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC+DP最小=AD-AM=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查切線的性質、軸對稱-最短問題、正方形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是找到點P的位置，學會通過特殊點探究問題，找到解題的突破口，屬于中考�？碱}型．