Question

6．如圖，AB是⊙O的直徑，PA，PC分別與⊙O相切于點(diǎn)A，C，PC交AB的延長線于點(diǎn)D，DE⊥PO交PO的延長線于點(diǎn)E，記∠EPD=∠1，∠EDO=∠2．
（1）求證：∠1=∠2；
（2）若PC=6，tan∠PDA=$\frac{3}{4}$，求OE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線長定理和切線的性質(zhì)即可證明：∠1=∠2；
（2）連接OC，利用tan∠PDA=$\frac{3}{4}$，可求出CD=4，再證明△OED∽△DEP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出OE的長．

解答 證明：∵PA，PC與⊙O分別相切于點(diǎn)A，C，
∴∠APO=∠1且PA⊥AO，
∴∠PAO=90°，
∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，
∴∠APO=∠2，
∴∠1=∠2；
（2）解：連接OC，
∴PA=PC=6，
∵tan∠PDA=$\frac{3}{4}$，
∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，
∴CD=4
∵tan∠PDA=$\frac{3}{4}$，
∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，
∵∠EPD=∠ODE，
∴△OED∽△DEP，
∴$\frac{PD}{DO}$=$\frac{PE}{DE}$=$\frac{ED}{OE}$=2，
∴DE=2OE
在Rt△OED中，OE²+DE²=OD²，即5OE²=5²，
∴OE=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了切線長定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的分析問題和解決問題的能力．