Question

15．如圖，菱形OABC中，∠AOC=45°，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，2），頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)B，y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，以下結(jié)論：
（1）k₁=4$\sqrt{2}+4$
（2）k₂=4
（3）AD=BD
（4）S_菱形OABC=4$\sqrt{2}$
其中正確的個(gè)數(shù)有（　　）

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，作BF⊥x軸于點(diǎn)F，由菱形的性質(zhì)可知CE=OE=2，根據(jù)∠AOC=45°可知OE=CE，故可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可得出k₂的值；在Rt△OCE中，根據(jù)勾股定理求出OC的長(zhǎng)，由菱形的性質(zhì)可得出OA=OC，同理可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出k₂的值；利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，進(jìn)而可得出D點(diǎn)坐標(biāo)，求出AD及BD的長(zhǎng)；直接根據(jù)菱形的面積公式即可得出菱形的面積．

解答 解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，作BF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵B（a，2），∠AOC=45°，
∴CE=OE=2．
∴C（2，2）．
∵y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，
∴k₂=2×2=4，故（2）正確；
在Rt△OCE中，
∵OE=CE=2，
∴OC=$\sqrt{{OE}^{2}+{CE}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∵四邊形OABC是菱形，
∴OA=OC=2$\sqrt{2}$，∠BAF=∠AOC=45°，
∴AF=BF=2，
∴B（2$\sqrt{2}$+2，2）．
∵反比例函數(shù)y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)B，
∴k₁=2（2$\sqrt{2}$+2）=4$\sqrt{2}$+4，故（1）正確；
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵（2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$+2，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{2}k+b=0\\（2\sqrt{2}+2）k+b=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-2\sqrt{2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=x-2$\sqrt{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{x}\\ y=x-2\sqrt{2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{2}\\ y=2-\sqrt{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=2-\sqrt{2}\\ y=2-3\sqrt{2}\end{array}\right.$（舍去），
∴D（2+$\sqrt{2}$，2-$\sqrt{2}$）．
∵A（2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$+2，2），
∴AD²=（2$\sqrt{2}$-2-$\sqrt{2}$）²+（2-$\sqrt{2}$）²=12-8$\sqrt{2}$，BD²=（2$\sqrt{2}$+2-2-$\sqrt{2}$）²+（2-2+$\sqrt{2}$）²=4，
∴AD≠BD，故（3）錯(cuò)誤；
∵OA=2$\sqrt{2}$，CE=2，
∴S_菱形OABC=OA•CE=2$\sqrt{2}$×2=4$\sqrt{2}$，故（4）正確．
∴（1）、（2）、（4）正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、菱形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．