Question

20．【發(fā)現(xiàn)問題】如圖①，在△ABC中，分別以AB、AC為斜邊，向△ABC的形外作等腰直角三角形，直角的頂點(diǎn)分別為D、E，點(diǎn)F、M、G分別為AB、BC、AC邊的中點(diǎn)，求證：△DFM≌△MGE．
【拓展探究】如圖②，在△ABC中，分別以AB、AC為底邊，向△ABC的形外作等腰三角形，頂角的頂點(diǎn)分別為D、E，且∠BAD+∠CAE=90°．點(diǎn)F、M、G分別為AB、BC、AC邊的中點(diǎn)，若AD=5，AB=6，△DFM的面積為a，直接寫出△MGE的面積．

Answer 1

分析 【發(fā)現(xiàn)問題】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠DFB=90°，DF=FA；∠EGC=90°，AG=GE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到FM∥AC，MG∥AB，推出四邊形AFMG是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到FM=AG，MG=FA，∠BFM=∠BAC，∠BAC=∠MGC，即可得到結(jié)論；                
【拓展探究】根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到FM∥AC，MG∥AB，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$AC=AG，MG=$\frac{1}{2}$AB=AF，∠MGC=∠BAC=∠BFM，等量代換得到∠DFM=∠MGE，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠1=∠3，根據(jù)三角函數(shù)的定義 $\frac{DF}{AF}$=$\frac{AG}{GE}$，推出 $\frac{DF}{MG}$=$\frac{FM}{EG}$，得到△DFM∽△MGE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 【發(fā)現(xiàn)問題】證明：∵△ADB是等腰直角三角形，F(xiàn)為斜邊AB的中點(diǎn)，
∴∠DFB=90°，DF=FA；
∵△ACE是等腰直角三角形，G為斜邊AC的中點(diǎn)，
∴∠EGC=90°，AG=GE，
∵點(diǎn)F、M、G分別為AB、BC、AC邊的中點(diǎn)，
∴FM∥AC，MG∥AB，
∴四邊形AFMG是平行四邊形，
∴FM=AG，MG=FA，∠BFM=∠BAC，∠BAC=∠MGC，
∴DF=MG，∠DFM=∠MGE，F(xiàn)M=GE，
在△DFM與△MGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=MG}\\{∠DFM=∠MGE}\\{FM=GE}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△MGE．                  

【拓展探究】∵點(diǎn)F、M、G分別為AB、BC、AC邊的中點(diǎn)，
∴FM∥AC，MG∥AB，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$AC=AG，MG=$\frac{1}{2}$AB=AF，∠MGC=∠BAC=∠BFM，
∴∠DFM=∠MGE，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴tan∠1=tan∠3，
即 $\frac{DF}{AF}$=$\frac{AG}{EG}$，
∴$\frac{DF}{MG}$=$\frac{FM}{EG}$，
∵∠DFM=∠MGE，
∴△DFM∽△MGE，
∴$\frac{{S}_{△MGE}}{{S}_{△DMF}}$=（ $\frac{DF}{MG}$）²，
在Rt△ADF中，DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴$\frac{{S}_{△MGE}}{{S}_{△DMF}}$=（ $\frac{MG}{DF}$）²=$\frac{9}{16}$，
∵△DFM的面積為a，
∴S_△MGE=$\frac{9}{16}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．三角形的中位線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證得△DFM∽△MGE是解題的關(guān)鍵．