Question

1．如圖，直線y=-$\frac{1}{2}$x+2分別交x軸，y軸于A，C，M為第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，MB⊥x軸，B為垂足，S_△ABM=9．
（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)N與點(diǎn)M在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)N在直線MB左側(cè)交于x軸，D為垂足，當(dāng)△BND∽△ACO時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）用一個(gè)未知數(shù)設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，表示出△AMC的面積，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)N坐標(biāo)為（x，y），求出反比例函數(shù)，因?yàn)椤鰾ND∽△ACO，利用線段比聯(lián)立方程組求出x，y的值．

解答 解：（1）∵點(diǎn)M在直線y=-$\frac{1}{2}$x+2上，
∴設(shè)M（x，-$\frac{1}{2}$x+2），
易得A（4，0），C（0，2）
∵S_△ABM=9
∴$\frac{1}{2}AB•MB=9$，
∴$\frac{1}{2}（4-x）（-\frac{1}{2}x+2）=9$
解得：x₁=-2，x₂=10（舍去）
∴-$\frac{1}{2}$x+2=$-\frac{1}{2}×（-2）+2=3$
∴M（-2，3）
（2）如圖①設(shè)N的坐標(biāo)為（x，y），

M坐標(biāo)為（-2，3）
∴經(jīng)過(guò)M點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式為y=$-\frac{6}{x}$（x＜0），
又∵△BND∽△ACO，
∴①$\frac{OA}{OC}=\frac{BD}{ND}$時(shí)，有$\frac{4}{2}=\frac{-2-x}{y}$
則有$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{6}{x}}\\{2y=-x-2}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\sqrt{13}}\\{y=\frac{\sqrt{13}-1}{2}}\end{array}\right.$
②$\frac{AO}{OC}=\frac{DN}{DB}$時(shí)，有$\frac{4}{2}=\frac{y}{-2-x}$
則有$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{6}{x}}\\{y=-2x-4}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-6}\end{array}\right.$（不在第二象限，舍去），或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=2}\end{array}\right.$
∴點(diǎn)n的坐標(biāo)為$（-1-\sqrt{13}，\frac{\sqrt{13}-1}{2}）$或（-3，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用以及相似三角形的判定，解題時(shí)首先根據(jù)一次函數(shù)解析式求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由S_△ABM=9求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而可得反比例函數(shù)解析式，最后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；本題綜合性較強(qiáng)，難度中上．