Question

如圖，∠AOB=30°，P點(diǎn)在∠AOB內(nèi)部，M點(diǎn)在射線(xiàn)OA上，將線(xiàn)段PM繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，M點(diǎn)恰好落在OB上的N點(diǎn)（OM＞ON），若PM=

10

，ON=8，則OM=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：連結(jié)MN，作NH⊥OA于H，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠MPN=90°，PN=PM=

10

，可判斷△PMN為等腰直角三角形，則MN=

2

PM=2

5

，在Rt△OHN中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得NH=

1

2

ON=4，OH=

3

NH=4

3

，然后在Rt△MNH中根據(jù)勾股定理計(jì)算出MH=2，由此得到OM=OH+HM=4

3

+2．

解答：解：連結(jié)MN，作NH⊥OA于H，如圖，
∵線(xiàn)段PM繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，M點(diǎn)恰好落在OB上的N點(diǎn)，
∴∠MPN=90°，PN=PM=

10

，
∴△PMN為等腰直角三角形，
∴MN=

2

PM=2

5

，
在Rt△OHN中，∵∠NOH=30°，ON=8，
∴NH=

1

2

ON=4，
OH=

3

NH=4

3

，
在Rt△MNH中，∵NH=4，MN=2

5

，
∴MH=

MN2-NH2

=2，
∴OM=OH+HM=4

3

+2．
故答案為4

3

+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．