Question

20．已知△ABC中，D為AB邊上任意一點，DF∥AC交BC于F，AE∥BC，∠CDE=∠ABC=∠ACB=α．
（1）如圖1，當α=60°時，求證：△DCE是等邊三角形；
（2）如圖2，當α=45°時，求證：①$\frac{CD}{DE}$=$\sqrt{2}$；②CE⊥DE．
（3）如圖3，當α為任意銳角時，請直接寫出線段CE與DE的數(shù)量關系是：$\frac{CE}{DE}$=1．

Answer 1

分析 （1）想辦法證明△CFD≌△DAE即可解決問題．
（2）①如圖2中，作FG⊥AC于G．只要證明△CFD∽△DAE，推出$\frac{DC}{DE}$=$\frac{CF}{AD}$，再證明CF=$\sqrt{2}$AD即可．
②作CE′⊥DE于E′，只要證明點E與點E′重合，即可推出CE⊥DE．
（3）想辦法證明EC=ED即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BC=BA，
∵DF∥AC，
∴∠BFD=∠BCA=60°，∠BDF=∠BAC=60°，
∴△BDF是等邊三角形，
∴BF=BD，
∴CF=AD，∠CFD=120°，
∵AE∥BC，
∴∠B+∠DAE=180°，
∴∠DAE=∠CFD=120°，
∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE，
∵∠CDE=∠B=60°，
∴∠FCD=∠ADE，
∴△CFD≌△DAE，
∴DC=DE，∵∠CDE=60°，
∴△CDE是等邊三角形．

（2）證明：①如圖2中，作FG⊥AC于G．

∵∠B=∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠BAC=90°，
∴∠BFD=45°，∠DFC=135°，
∵AE∥BC，
∴∠BAE+∠B=180°，
∴∠DFC=∠DAE=135°，
∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE，
∵∠CDE=∠B=45°，
∴∠FCD=∠ADE，
∴△CFD∽△DAE，
∴$\frac{DC}{DE}$=$\frac{CF}{AD}$，
∵四邊形ADFG是矩形，F(xiàn)C=$\sqrt{2}$FG，
∴FG=AD，CF=$\sqrt{2}$AD，
∴$\frac{CD}{DE}$=$\sqrt{2}$，
②作CE′⊥DE于E′
∵∠CDE=45°，
∴DE′=CD•cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，
∵DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，
∴點E與點E′重合，
∴CE⊥DE．

（3）解：如圖3中，設AC與DE交于點O．

∵AE∥BC，
∴∠EAO=∠ACB，
∵∠CDE=∠ACB，
∴∠CDO=∠OAE，∵∠COD=∠EOA，
∴△COD∽△EOA，
∴$\frac{CO}{EO}$=$\frac{OD}{OA}$，
∴$\frac{CO}{OD}$=$\frac{EO}{OA}$，∵∠COE=∠DOA，
∴△COE∽△DOA，
∴∠CEO=∠DAO．
∵∠CED+∠CDE+∠DCE=180°，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∵∠CDE=∠B=∠ACB，
∴∠EDC=∠ECD，
∴EC=ED，
∴$\frac{CE}{DE}$=1．
故答案為1．

點評 本題考查相似三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、銳角三角函數(shù)、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．