Question

13．已知△ABC中，AB=AC=5，cosB=$\frac{3}{5}$，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，得到△A₁B₁C．
（1）如圖1，若點(diǎn)B₁在線段BA的延長(zhǎng)線上
①求證：AB∥A₁C；
②求△AB₁C的面積；
（2）如圖2，點(diǎn)D為線段AC中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E₁，求線段DE₁長(zhǎng)度的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明；
②過(guò)A作AF⊥BC于F，過(guò)C作CM⊥AB于M，根據(jù)三角函數(shù)和三角形的面積公式解答；
（2）過(guò)C作CE⊥AB于E，以C為圓心CE為半徑畫圓交AC于E₁，得出最小值解答即可．

解答 解：（1）①證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵B₁C=BC
∴∠1=∠B，
∵∠2=∠ACB（旋轉(zhuǎn)角相等），
∴∠1=∠2，
∴AB∥A₁C；
②過(guò)A作AF⊥BC于F，過(guò)C作CM⊥AB于M，如圖1，

∵AB=AC，AF⊥BC
∴BF=CF
∵$cosB=\frac{3}{5}$，AB=5，
∴BF=3
∴BC=6
∴B₁C=BC=6，
∵CM⊥AB
∴BM=B₁M=$\frac{18}{5}$
∴BB₁=$\frac{36}{5}$，CM=$\frac{24}{5}$，
∴AB₁=$\frac{36}{5}-5=\frac{11}{5}$，
∴△AB₁C的面積為：$\frac{1}{2}×\frac{11}{5}×\frac{24}{5}=\frac{132}{25}$；
（2）如圖2過(guò)C作CE⊥AB于E，以C為圓心CE為半徑畫圓交AC于E₁，DE₁有最小值．

此時(shí)在Rt△BEC中，CE=$\frac{24}{5}$，
∴CE₁=$\frac{24}{5}$，
∴DE₁的最小值為CE₁-CD=$\frac{24}{5}-\frac{5}{2}=\frac{23}{10}$；
如圖，以C為圓心BC為半徑畫圓交AC的延長(zhǎng)線于E₁，
DE₁有最大值．
此時(shí)DE₁=DC+BC=$\frac{5}{2}$+6=$\frac{17}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查幾何變換問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形的面積公式進(jìn)行解答．