Question

3．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，AE⊥AD，交CB的延長線于點(diǎn)E．若AB=1，AC=2，則AE=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理得到BC=$\sqrt{5}$，根據(jù)已知條件得到AD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2，
∴BC=$\sqrt{5}$，
∵D是BC中點(diǎn)，
∴AD=DC，AD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴∠C=∠DAC．
∵AE⊥AD，
∴∠EAB=∠DAC=∠C，
∵∠E是公共角，
∴△BAE∽△ACE，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BE}{AE}$$\frac{1}{2}$，
∴AE=2BE，
∴AE²=CE•BE=（$\sqrt{5}$+BE）•BE=4BE²，
∴BE=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴AE=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．