Question

10．拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+x+n-1的頂點(diǎn)在直線y=x+3上．過點(diǎn)（-2.2）的直線交該拋物線于點(diǎn)M．N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊），MA⊥x軸于點(diǎn)A，NB⊥x軸于點(diǎn)B
（1）先通過配方求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（坐標(biāo)可用含n的代數(shù)式表示），再求n的值；
（2）若點(diǎn)R（-2，0），連接MR、RN，延長(zhǎng)RN交y軸于點(diǎn)C，求證：∠MRC=2∠RCO；
（3）問$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{BN}$的值是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)求出變化范圍；若不變，請(qǐng)求出其值．

Answer 1

分析 （1）利用配方法求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）首先利用兩點(diǎn)間距離公式證明MA=MG，同理可得NG=NB，再證明△MAR∽△NBR，推出∠ARM=∠NRB，由∠GRA=∠GRB=90°，推出∠MRG=∠NRG，由GR∥OC，推出∠GRN=∠RCO，可得∠MRN=2∠RCO．
（3）如圖3中，$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{BN}$的值是定值．連接BM交GR于K，連接AK，KN．首先證明A、K、N共線，由AM∥GR∥BN，推出$\frac{GK}{AM}$=$\frac{GN}{NM}$=$\frac{RB}{AB}$=$\frac{RK}{AM}$，推出GK=RK=1，由$\frac{KR}{AM}$=$\frac{RB}{AB}$，$\frac{RK}{NB}$=$\frac{AR}{AB}$，推出$\frac{KR}{AM}$+$\frac{RK}{NB}$=$\frac{RB}{AB}$+$\frac{AR}{AB}$=$\frac{AB}{AB}$=1，推出$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{BN}$=$\frac{1}{KR}$=1即可解決問題．

解答 解：（1）∵y=$\frac{1}{4}$x²+x+n-1=$\frac{1}{4}$（x+2）²+n-2，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，n-2），
∵拋物線y=$\frac{1}{4}$²+x+n-1的頂點(diǎn)在直線y=x+3上，
∴n-2=-2+3，
∴n=3．

（2）設(shè)M（m，$\frac{1}{4}$m²+m+2），G（-2，2），
∴MG=$\sqrt{（m+2）^{2}+（\frac{1}{4}{m}^{2}+m）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{1}{16}{m}^{2}+2•\frac{1}{4}{m}^{2}（m+2）+（m+2）^{2}}$
=$\sqrt{（\frac{1}{4}{m}^{2}+m+2）^{2}}$
=$\frac{1}{4}$m²+m+2，
∴MA⊥x軸，
∴AM=$\frac{1}{4}$m²+m+2，同理可證NG=NB，
∵R（-2，0），G（-2，2），BN⊥OR，
∴AM∥GR∥BN，
∴$\frac{GM}{GN}$=$\frac{AR}{RB}$，
∴$\frac{AM}{BN}$=$\frac{AR}{BR}$，
∵∠MAR=∠RBN，
∴△MAR∽△NBR，
∴∠ARM=∠NRB，
∵∠GRA=∠GRB=90°，
∴∠MRG=∠NRG，
∵GR∥OC，
∴∠GRN=∠RCO，
∴∠MRN=2∠RCO．

（3）如圖3中，$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{BN}$的值是定值．

連接BM交GR于K，連接AK，KN．
∵GK∥BN，
∴$\frac{MG}{GN}$=$\frac{MK}{KB}$，∵M(jìn)A=MG，NG=NB，
∴$\frac{AM}{BN}$=$\frac{MK}{KB}$，
∵AM∥BN，
∴∠AMK=∠NBK，
∴△AMK∽△NBK，
∴∠AKM=∠NKB，
∵∠NKB+∠MKN=180°，
∴∠AKM+∠MKN=180°，
∴A、K、N共線，
∵AM∥GR∥BN，
∴$\frac{GK}{AM}$=$\frac{GN}{NM}$=$\frac{RB}{AB}$=$\frac{RK}{AM}$，
∴GK=RK=1，
∵$\frac{KR}{AM}$=$\frac{RB}{AB}$，$\frac{RK}{NB}$=$\frac{AR}{AB}$，
∴$\frac{KR}{AM}$+$\frac{RK}{NB}$=$\frac{RB}{AB}$+$\frac{AR}{AB}$=$\frac{AB}{AB}$=1，
∴$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{BN}$=$\frac{1}{KR}$=1．
∴$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{BN}$的值是定值，
∴$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{BN}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、兩點(diǎn)間距離公式、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用平行線分線段成比例定理，解決線段之間的關(guān)系問題，屬于中考?jí)狠S題．