Question

20．如圖，AB為⊙O的直徑，AC為弦，過C點的直線為l，AD⊥l于D，又AC平分∠DAB．
（1）求證：DC為⊙O的切線；
（2）若AD=3，AB=4，求tan∠DAC的值．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由等邊對等角得∠BAC=∠OCA，根據(jù)角平分線的定義得∠DAC=∠BAC，則OC∥AD，由AD⊥l，得∠ADC=90°，即可得出OC⊥DC，即可證明CD是⊙O的切線；
（2）連接BC，易證△ADC∽△ACB，得$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，即可得出AC，在Rt△ACD中，由勾股定理得出CD，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得出tan∠DAC的值．

解答 解：（1）連接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AD，
又∵AD⊥L，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCO=180°-∠ADC=180°-90°=90°，
∴OC⊥DC，
又∵OC是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線；
（2）連接BC，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=ADC=90°，
又∵∠CAB=∠DAC，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
又∵AD=3，AB=4，
∴AC²=AD•AB=3×4=12，
又∵AC＞0，
∴AC=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，
∴在Rt△ACD中，
CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{12-9}$=$\sqrt{3}$，
∴tan∠DAC=$\frac{DC}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可，是一道綜合性的題目，與勾股定理、三角函數(shù)相結合，是中考的常見題型，難度適中．