Question

4．如圖，C為∠AOB的邊OA上一點，OC=6，N為邊OB上異于點O的一動點，P是線段CN上一點，過點P分別作PQ∥OA交OB于點 Q，PM∥OB交OA于點M．
（1）若∠AOB=45，OM=4，OQ=$\sqrt{2}$，求證：CN⊥OB；
（2）當點N在邊OB上運動時，四邊形OMPQ始終保持為菱形．
①問：$\frac{1}{OM}-\frac{1}{ON}$的值是否發(fā)生變化？如果變化，求出其取值范圍；如果不變，請說明理由；
②設(shè)菱形OMPQ的面積為S₁，△NOC的面積為S₂，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先判斷四邊形OMPQ為平行四邊形，再用銳角三角函數(shù)求出∠PCE=45°，即可；
（2）先判斷出△NQP∽△NOC，△CPM∽△CNO再得到比例式，求解即可．

解答 解：（1）如圖1，

過P作PE⊥OA于E，NF⊥OA，
∵PQ∥OA，PM∥OB，
∴四邊形OMPQ為平行四邊形，
∴PM=OQ=$\sqrt{2}$，∠PME=∠AOB=45°，
∴PE=PMsin45°=1，ME=1，
∴CE=OC-OM-ME=1，
∴tan∠PCE=$\frac{PE}{CE}$=1，
∴∠PCE=45°，
∴∠CNO=90°，
∴CN⊥OB；
（2）①$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$的值不發(fā)生變化，
理由：設(shè)OM=x，ON=y，
∵四邊形OMPQ為菱形，
∴OQ=QP=OM=x，NQ=y-x，
∵PQ∥OA，
∴∠NQP=∠O，
∵∠QNP=∠ONC，
∴△NQP∽△NOC，
∴$\frac{OP}{OC}=\frac{NQ}{NO}$，
∴$\frac{x}{6}=\frac{y-x}{y}$，
∴6y-6x=xy，
∴$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{6}$，
∴$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{6}$；
②如圖2，

過P作PE⊥OA，過N作NF⊥OA，
∴S₁=OM×PE，S₂=$\frac{1}{2}$OC×NF，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{xPE}{3NF}$，
∵PM∥OB，
∴∠PMC=∠O∠，
∵∠PCM=∠NCO，
∴△CPM∽△CNO，
∴$\frac{PE}{NF}=\frac{CM}{CO}=\frac{6-x}{6}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\frac{x（6-x）}{18}$，
∵0＜x＜6，
∴0＜$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$＜$\frac{1}{2}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，解本題的關(guān)鍵是用銳角三角函數(shù)．