Question

1．如圖，△ABC中，∠ACB＞∠ABC，點O是△ABC的內(nèi)角平分線的交點，AO的延長線交BC于點D，OE⊥BC于點E．
（1）若∠BAC=90°，①求∠BOC的度數(shù)；
②如果∠DOE=15°，求∠EOC的度數(shù)．
（2）設(shè)∠OBC=m，∠OCB=n，求∠DOC．（用m，n表示）

Answer 1

分析 （1）①由三角形的內(nèi)角和得到∠ABC+∠ACB=90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠OBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACB，于是得到∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=45°，即可得到結(jié)論；②由O是△ABC的三內(nèi)角平分線的交點，得到∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB，推出∠BOD=∠BAO+∠ABO=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC）=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和角平分線的性質(zhì)得到∠EOC=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)已知條件得到∠BOE=90°-m，∠COE=90°-n，由于∠BOD=∠COE，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）①∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=45°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=135°；
②∵O是△ABC的三內(nèi)角平分線的交點，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BAO=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB，
∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC）=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠OEC=90°，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠EOC=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOD=∠EOC=$\frac{1}{2}$（135°-15°）=60°；

（2）∵OE⊥BC，
∴∠BEO=∠CEO=90°，
∵∠OBC=m，∠OCB=n，
∴∠BOE=90°-m，∠COE=90°-n，
∵∠BOD=∠COE，
∴∠COD=∠COE+∠DOE=∠BOD+90°-m-∠BOD=90°-m．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．