Question

18．已知△ACB為等腰直角三角形，D為BA的中點，∠EDF=45°，交AC于E點，交BC于F點，連EF．
（1）求證：CD⊥AB；
（2）求證：CE+EF=BF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質即可得到結論；
（2）過D作DG⊥DE交AB于G，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到CD=BD，∠ACD=∠B=45°，通過全等三角形得到BG=CE，DG=DE，EF=GF，根據(jù)得到結論．

解答 解：（1）∵△ACB為等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∵D為BA的中點，
∴CD⊥AB；

（2）過D作DG⊥DE交AB于G，
∵△ACB為等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=BD，∠ACD=∠B=45°，
∵∠EDG=∠CDB=90°，
∴∠CDE=∠BDG，
在△CDE與△BDG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ECD=∠B}\\{CD=BD}\\{∠CDE=∠BDG}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BDG，
∴BG=CE，DG=DE，
在△EDF與△GDF中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DG}\\{∠EDF=∠GDF}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△EDF≌△GDF，
∴EF=GF，
∵BF=BG+GF，
∴BF=CE+EF．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．