Question

6．已知，點C（4，0）在x軸上，動點A（0，m）在y軸上，線段CB出線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，如圖所示，∠ACB=90°，AC=BC．
（1）當m=6時，求點B的坐標；
（2）當m=-6時，求點B的坐標；
（3）若點Q（-1，0），當BQ最小時，直接寫出m的值．

Answer 1

分析 （1）先過點B作BD⊥x軸于點D，根據(jù)AAS判定△ACO≌△CBD，根據(jù)全等三角形的對應邊相等，得出BD=4，OD=10，求得點B的坐標；
（2）先過點B作BD⊥x軸于點D，根據(jù)AAS判定△ACO≌△CBD，根據(jù)全等三角形的對應邊相等，得出BD=4，OD=2，求得點B的坐標；
（3）過點B作BD⊥x軸于點D，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，求得BD=CO=4，再根據(jù)垂線段最短，得出當點D與點Q重合時，BQ最小，求得此時AO=CQ=5，即可得到m的值．

解答 解：（1）如圖所示，當m=6時，過點B作BD⊥x軸于點D，則∠CDB=∠AOC=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAO+∠ACO=∠BCD+∠ACO=90°，
∴∠CAO=∠BCD，
∴△ACO≌△CBD（AAS），
∵C（4，0），A（0，6），
∴BD=CO=4，CD=AO=6，
∴OD=10，
∴此時，點B的坐標為（10，4）；

（2）如圖所示，當m=6時，過點B作BD⊥x軸于點D，則∠CDB=∠AOC=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAO+∠ACO=∠BCD+∠ACO=90°，
∴∠CAO=∠BCD，
∴△ACO≌△CBD（AAS），
∵C（4，0），A（0，-6），
∴BD=CO=4，CD=AO=6，
∴OD=2，
∴此時，點B的坐標為（-2，4）；

（3）如圖所示，過點B作BD⊥x軸于點D，則∠CDB=∠AOC=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAO+∠ACO=∠BCD+∠ACO=90°，
∴∠CAO=∠BCD，
∴△ACO≌△CBD（AAS），
∵C（4，0），
∴BD=CO=4，
連接BQ，則當點D與點Q重合時，BD=BQ=4，
根據(jù)垂線段最短，可知此時BQ最小，
∵Q（-1，0），C（4，0），
∴此時，AO=CQ=5，
又∵點A在y軸負半軸上，
∴m的值為-5．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的綜合應用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，運用全等三角形的對應邊相等進行計算求解．實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個中去選擇．