Question

9．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若AE平分∠BAD交BC于點E，且BO=BE，連接OE，則∠BOE=75°．

Answer 1

分析 由矩形ABCD，得到OA=OB，根據(jù)AE平分∠BAD，得到等邊三角形OAB，∠ABO=60°，求出∠OBE=30°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出答案．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，
∴AB=BE，
∵BO=BE，
∴AB=BO=OA
∴△BAO是等邊三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠OBE=90°-60°=30°，
OB=BE，
∴∠BOE=∠BEO=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°．
故答案為75°．

點評 本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識點，解此題的關(guān)鍵是證明△BAO是等邊三角形．