Question

15．我們知道，分解因式與整式乘法是互逆的運(yùn)算．在分解因式的練習(xí)中我們也會(huì)遇到下面的問(wèn)題，請(qǐng)你根據(jù)情況解答：
（1）兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式時(shí)，其中一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成3（x-1）（x+2），另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)而分解成3（x+2）（x-3），請(qǐng)你求出原來(lái)的多項(xiàng)式并將原式分解因式．
（2）已知a、b、c是△ABC的三邊且滿足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴．判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）由于含字母x的二次三項(xiàng)式的一般形式為ax²+bx+c（其中a、b、c均為常數(shù)，且abc≠0），所以可設(shè)原多項(xiàng)式為ax²+bx+c．看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)即b值看錯(cuò)而a與c的值正確，根據(jù)因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算，可將3（x-1）（x+2）運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則展開(kāi)求出a與c的值；同樣，看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)即c值看錯(cuò)而a與b的值正確，可將3（x+2）（x-3）運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則展開(kāi)求出b的值，進(jìn)而得出答案；
（2）把已知中的式子a⁴-b⁴=a²c²-b²c²，移項(xiàng)右邊變化成0，左邊分解因式即可進(jìn)行判斷．

解答 解：（1）設(shè)原多項(xiàng)式為ax²+bx+c（其中a、b、c均為常數(shù)，且abc≠0）．
∵3（x-1）（x+2）=3（x²+x-2）=3x²+3x-6，
∴a=3，c=-6；
又∵3（x+2）（x-3）=3（x²-x-6）=3x²-3x-18，
∴b=-3．
∴原多項(xiàng)式為3x²-3x-6，將它分解因式，得
3x²-3x-6=3（x²-x-2）=3（x-2）（x+1）．
（2）∵a⁴-b⁴=a²c²-b²c²
∴a⁴-b⁴-a²c²+b²c²=0
即：（a²+b²-c²）（a²-b²）=0
則a²+b²-c²=0或a²-b²=0
可得a²+b²=c²或a=b．
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算．是中考中的常見(jiàn)題型．本題中注意：如果一個(gè)二次三項(xiàng)式，看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，意思是二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)都沒(méi)有看錯(cuò)．