Question

1．在?ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，BC=8，將?ABCD繞AD邊上任意一點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)P不與A、D重合），得到?A′B′C′D′，且點(diǎn)C′落在CD（或其延長(zhǎng)線上），如圖所示．
（1）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30°時(shí)，求PD的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度數(shù)為n（0°＜n＜120°）時(shí)，PD=$\frac{2\sqrt{3}}{tan（30°+\frac{1}{2}n）}$+2（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接PC、PC′作PN⊥CD于N，CM⊥AD于M，首先證明∠CPM=45°推出CM=PM，求出PM，DM即可解決問(wèn)題．
（2）分兩種情形①如圖1中，當(dāng)C′在CD上時(shí)，②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)C′在線段CD的延長(zhǎng)線時(shí)，連接PC、PC′作PN⊥CD于N，CM⊥AD于M，分別在RT△PCM，RT△CMD中解三角形即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，連接PC、PC′作PN⊥CD于N，CM⊥AD于M，
∵PC=PC′，∠CPC′=30°，
∴∠PC′C=∠PCC′=75°，
∵∠PC′C=∠PDC+∠DPC′，∠B=∠D=60°，
∴∠DPC′=15°，
∴∠CPM=45°，
∵∠CMP=90°，
∴∠CPM=∠PCM=45°，
∴PM=CM，
在RT△CMD中，∵∠CMD=90°，CD=4，∠D=60°，
∴DM=$\frac{1}{2}$CD=2，CM=PM=2$\sqrt{3}$，
∴PD=2+2$\sqrt{3}$，
（2）①如圖1中，當(dāng)C′在CD上時(shí)，由（1）可知，∠CPC′=n，則∠PC′C=90°-$\frac{1}{2}$n，
∠DPC′=90°-$\frac{1}{2}$n-60°=30°-$\frac{1}{2}$n，∠CPM=30°-$\frac{1}{2}$n+n=30°+$\frac{1}{2}$n，
∴PD=PM+DM=$\frac{2\sqrt{3}}{tan（30°+\frac{1}{2}n）}$+2．
②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)C′在線段CD的延長(zhǎng)線時(shí)，連接PC、PC′作PN⊥CD于N，CM⊥AD于M，
同理可得∠CPM=30°+$\frac{1}{2}$n，
∵0＜n＜120°，
∴∠CPM＜90°，
PD=PM+DM=$\frac{2\sqrt{3}}{tan（30°+\frac{1}{2}n）}$+2，
綜上所述PD=$\frac{2\sqrt{3}}{tan（30°+\frac{1}{2}n）}$+2．
故答案為$\frac{2\sqrt{3}}{tan（30°+\frac{1}{2}n）}$+2．

點(diǎn)評(píng) 不通考查旋轉(zhuǎn)變換、平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形中30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．