Question

已知：拋物線C₁：y=

1

2

x²-x+

5

2

向左平移m個單位，再向下平移n個單位后得到拋物線C₂：y=

1

2

x²．
（1）求m、n的值；
（2）若A點坐標為（0，1），C為拋物線C₂上的一個動點，以C為圓心CA為半徑的圓交x軸于M、N兩點，O、D關于A點對稱，作OB⊥OC交拋物線C₂于B．
?①試探究：隨C點的運動線段MN的長度是否發(fā)生變化？若改變請說明理由，若不變請求出MN的值．
?②連結CD、DB并繼續(xù)探究：隨著C點的運動，B點也隨之運動，而C、D、B三點是否始終保持在同一直線上？請說明你的判斷，并給出證明．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，進而利用二次函數(shù)圖象平移規(guī)律得出即可；
（2）①利用在Rt△CED中，由勾股定理得：EN²=CN²-CE²，進而得出MN的值；
②首先求出b=2，即，不論a為何值，直線BC與y軸交于點（0，2），進而得出直線BC必過點D（0，2），B、C、D三點在同一條直線上．

解答：解：（1）配方得：y=

1

2

x²-x+

5

2

=

1

2

（x-1）²+2，
∴拋物線C₁：y=

1

2

x²-x+

5

2

向左平移1個單位，再向下平移2個單位后得到拋物線C₂：y=

1

2

x²，
∴m=1，n=2；

（2）①由（1）拋物線C₂為：y=

1

2

x²，
設C（m，

1

2

m²），作CE⊥x軸于E，
由垂徑定理得：
EN=

1

2

MN，
∵CN²=CA²=m²+（

1

2

m²-1）²
=

1

4

m⁴+1，
CE²=（

1

2

m²）²=

1

4

m⁴，
在Rt△CED中，由勾股定理得：
EN²=CN²-CE²
=

1

4

m⁴+1-

1

4

m⁴
=1，
∴MN=2EN=2，
即在C點的運動過程中MN始終保持不變．
②C、D、B始終保持在同一直線上，
理由是：
作BF⊥y軸于F，BH⊥x軸于H，CG⊥y軸于G
設C（a，

1

2

a²），B（b，

1

2

b²），
∵D、O關于A點對稱，
∴D（0，2）
∵∠COB=90°∴∠COE+∠BOH=90°
又∵∠COE+∠ECO=90°，
∴∠ECO=∠BOH，
∴Rt△COE～Rt△OBH，
∴

CE

OH

=

OE

BH

，
∴

1 2 a2

b

=

-a

1 2 b2

，
即：ab=-4，
∴b=

-4

a

，
∴B（b，

b2

2

）即為（

-4

a

，

8

a2

），
設直線BC為：y=kx+m，則：

ka+m= a2 2 -k× 4 a +m= 8 a2

∴

4ka+4b=2a2 -4ka+ba2=8

，
∴b（4+a²）=2（4+a²），
∴b=2，即，不論a為何值，直線BC與y軸交于點（0，2），
即直線BC必過點D（0，2），∴B、C、D三點在同一條直線上．
另解提示：
當B點位置高于C點時，
又∵

BF

CG

=

b

-a

=

4

a2

，
∴

DF

DG

=

1 2 b2-2

2- 1 2 a2

=

b2-4

4-a2

=

4

a2

，

BF

CG

=

DF

DG

，
又∵∠DFB=∠DGC=90°，
∴△CDG∽△BDF，
∴∠CDG=∠FDB，
∴C、D、B共線，
當B點位置低于C點時，同理可得出C、D、B共線，
當∠COD=45°時，OC=OG=OB，∠OGC=∠OGB=90°，C、D、B共線．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質以及二次函數(shù)圖象的平移等知識，利用數(shù)形結合得出是解題關鍵．