Question

11．如圖，正方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，且AF=BC+CF，求證：AE平分∠BAF．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于G，由正方形的性質(zhì)得出∠B=∠BCD=∠ECG=90°，AB=BC，證明△GCE≌△ABE，得出GC=AB，∠G=∠BAE，證出AF=GF，得出∠FAE=∠G，得出∠FAE=∠BAE即可．

解答 證明：延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于G，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=∠ECG=90°，AB=BC，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴CE=BE，
在△GCE和△ABE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ECG=∠B}&{\;}\\{CE=BE}&{\;}\\{∠CEG=∠BEA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GCE≌△ABE（ASA），
∴GC=AB，∠G=∠BAE，
∵AF=BC+CF，GF=GC+CF，
∴AF=GF，
∴∠FAE=∠G，
∴∠FAE=∠BAE，
∴AE平分∠BAF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．