Question

10．《九章算術(shù)》中“今有勾七步，股有二十四步，問(wèn)勾中容圓徑幾何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長(zhǎng)為7步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為24步，問(wèn)該直角三角形的容圓（內(nèi)切圓）直徑是多少？”（　�。�

• A． 4步
• B． 5步
• C． 6步
• D． 8步

Answer 1

分析 設(shè)三角形△ABC，由勾股定理可求得直角三角形的斜邊，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，由S_△ABC=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）•r可求得半徑，則可求得直徑．

解答 解：
設(shè)三角形為△ABC，∠C=90°，AC=7，BC=24，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+2{4}^{2}}$=25，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則S_△ABC=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）•r，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）•r，即$\frac{1}{2}$×7×24=$\frac{1}{2}$×（7+24+25）•r，
解得r=3，
∴內(nèi)切圓的直徑是6步，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角形的內(nèi)切圓，利用等積法得到關(guān)于內(nèi)切圓半徑的方程是解題的關(guān)鍵．