Question

16．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，連接AC、BC．
（1）拋物線的頂點坐標(biāo)是（-$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$）；
（2）①求A、B兩點的坐標(biāo)；
②猜想AC與BC的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）如果點P是拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)點P到B、C兩點的距離之差最大時，求P點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo)公式直接計算；
（2）①令y=0解一元二次方程即可；②利用勾股定理的逆定理判斷△ABC是直角三角形；
（3）判斷出點P到B、C兩點的距離之差最大時，點P的位置即可．

解答 解：（1）∵a=-$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{3}{2}$，c=2，
∴-$\frac{2a}$=-$\frac{-\frac{3}{2}}{2×（-\frac{1}{2}）}$=-$\frac{3}{2}$，
$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=$\frac{4×（-\frac{1}{2}）×2-（-\frac{3}{2}）^{2}}{4×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{25}{8}$，
∴頂點坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），
故答案為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），
（2）①令y=0，
∴-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2=0，
∴x₁=-4，x₂=1，
∴A（-4，0），B（1，0）；
②AC⊥BC，
理由：由拋物線解析式得，C（0，2），
∴AC²=16+4=20，BC²=1+4=5，AB²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC⊥BC；
（3）∵點P是拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)點P到B、C兩點的距離之差最大，
∴點P在直線BC上，
∵C（0，2），B（1，0），
∴直線BC解析式為y=-2x+2，
∵點P在對稱軸x=-$\frac{3}{2}$上，
∴y=5，
∴P（-$\frac{3}{2}$，5）．

點評 此題是拋物線與x軸的交點題，主要考查了拋物線的頂點公式，拋物線與x軸的交點的求法，直角三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的性質(zhì)．