Question

6．已知線段AB=8，點C，D在線段AB上，AC=BD=1，P是線段CD上一動點，分別以AP，BP為邊在AB的同側(cè)作正△APE和△BPF，求△PEF的外接圓半徑的最大值．

Answer 1

分析 由題干我們能得到的已知條件有∠EPF=60°，故∠EOF=120°，外接圓半徑EO恒等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$EF；求外接圓半徑的最大值等同于求EF的最大值．

解答 解：如圖，過F作FH垂直于AB，垂足為H，過E分別作EG垂直AB，EM垂直FH，垂足為G、M，
設(shè)AP=x（1≤x≤7），則 PB=8-x，F(xiàn)M=（$\frac{（8-x）\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}x$ ），EM=GH=4，
由勾股定理得：EF²=FM²+EM²，
∴EF=$\sqrt{16+3（4-x）^{{2}^{\;}}}$=$\sqrt{3{x}^{2}-24x+64}$，（1≤x≤7）
∵∠EPF=60°
∴∠EOF=120°，
又∵EO=OF，
∴△PEF的外接圓半徑EO等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$EF，
當(dāng)x=1或7時，EF取得最大值為$\sqrt{43}$，此時EO=$\frac{\sqrt{129}}{3}$，
當(dāng)x=4時，取得最小值為4，此時EO=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故△PEF的外接圓半徑的最大值為：$\frac{\sqrt{129}}{3}$．

點評 本題主要考查了三角形的外心，熟悉等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．