Question

6．閱讀理解：配方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法，用配方法可求最大（小）值．如對于任意正實(shí)數(shù)a、x，可作變形：x+$\frac{a}{x}$=（$\sqrt{x}$-$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}}$）²+2$\sqrt{a}$，因?yàn)椋?\sqrt{x}$-$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}}$）²≥0，所以x+$\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{a}$（當(dāng)x=$\sqrt{a}$時(shí)取等號(hào)）．
記函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0，x＞0），由上述結(jié)論可知：當(dāng)x=$\sqrt{a}$時(shí)，該函數(shù)有最小值為2$\sqrt{a}$．
直接應(yīng)用：已知函數(shù)y₁=x（x＞0）與函數(shù)y₂=$\frac{9}{x}$（x＞0），則當(dāng)x=3 時(shí)，y₁+y₂取得最小值為6．
變形應(yīng)用：已知函數(shù)y₁=x+1（x＞-1）與函數(shù)y₂=（x+1）²+4（x＞-1），求$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值，并指出取得該最小值時(shí)相應(yīng)的x的值．
實(shí)際應(yīng)用：汽車的經(jīng)濟(jì)時(shí)速是指汽車最省油的行駛速度．某種汽車在每小時(shí)70～110公里之間行駛時(shí)（含70公里和110公里），每公里耗油（$\frac{1}{18}$+$\frac{450}{{x}^{2}}$）升．若該汽車以每小時(shí)x公里的速度勻速行駛，1小時(shí)的耗油量為y升．
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量x的取值范圍）；
②求該汽車的經(jīng)濟(jì)時(shí)速及經(jīng)濟(jì)時(shí)速的百公里耗油量（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0，x＞0），當(dāng)x=$\sqrt{a}$時(shí)，該函數(shù)有最小值為2$\sqrt{a}$，得到當(dāng)x=$\sqrt{9}$=3時(shí)，y₁+y₂取得最小值為2$\sqrt{9}$=6，
（2）由$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=$\frac{（x+1）^{2}+4}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$，得到當(dāng)x+1=$\sqrt{4}$=2，即：x=1時(shí)，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值=2$\sqrt{4}$=4；
（3）根據(jù)耗油總量=每公里的耗油量×行駛的速度列出函數(shù)關(guān)系式即可，經(jīng)濟(jì)時(shí)速就是耗油量最小的形式速度．

解答 解：（1）∵對于函數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0，x＞0），當(dāng)x=$\sqrt{a}$時(shí)，該函數(shù)有最小值為2$\sqrt{a}$，
∴當(dāng)x=$\sqrt{9}$=3時(shí)，y₁+y₂取得最小值為2$\sqrt{9}$=6，

（2）∵$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=$\frac{（x+1）^{2}+4}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$，
∴當(dāng)x+1=$\sqrt{4}$=2，即：x=1時(shí)，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值=2$\sqrt{4}$=4；

（3）∵汽車在每小時(shí)70～110公里之間行駛時(shí)（含70公里和110公里），每公里耗油（$\frac{1}{18}$+$\frac{450}{{x}^{2}}$）升．
∴y=x×（$\frac{1}{18}$+$\frac{450}{{x}^{2}}$）=$\frac{x}{18}$+$\frac{450}{x}$，（70≤x≤110）；
根據(jù)材料得：當(dāng)$\frac{x}{18}$=$\frac{450}{x}$時(shí)有最小值，
解得：x=90
∴該汽車的經(jīng)濟(jì)時(shí)速為90千米/小時(shí)；
當(dāng)x=90時(shí)百公里耗油量為100×（$\frac{1}{18}$+$\frac{450}{8100}$）≈11.1升．

點(diǎn)評 本題考查了配方法的應(yīng)用，最值問題，解題的關(guān)鍵是讀懂題目提供的材料，易錯(cuò)點(diǎn)是了解“耗油總量=每公里的耗油量×行駛的速度”，難度中等偏上．