Question

已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再展開(kāi)，折痕EF交AD邊于點(diǎn)E，交BC邊于點(diǎn)F，分別連結(jié)AF和CE．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AB=4，BC=8，求△ABF的面積；
（3）在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得AE²=AO•AP？若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)P的位置，并予以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),菱形的判定,翻折變換（折疊問(wèn)題）,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)AD∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠EAO=∠FCO，再利用“角邊角”證明△AEO和△CFO全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=CF，然后根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AE=CE，然根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可；
（2）設(shè)BF=x，再表示出AF，然后利用勾股定理列式求出x，再利用三角形的面積列式計(jì)算即可得解；
（3）過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線，交AC于點(diǎn)P，求出△AOE和△AEP相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例解答．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
由折疊的性質(zhì)，OA=OC，∠AOE=∠COF，
在△AEO和△CFO中，

∠EAO=∠FCO OA=OC ∠AOE=∠COF

，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴AE=CF，
∵AE∥FC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∵EF為對(duì)稱軸，
∴AE=CE，
∴四邊形AFCE菱形；

（2）解：設(shè)BF=x，∵四邊形AECF是菱形，
∴AF=FC=8-x，
∵ABCD是矩形，
∴∠B是直角，
∴（8-x）²=4²+x²，
解得x=3，
∴S_△ABF=

1

2

×3×4=6；

（3）存在．過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線，交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P就是符合條件的點(diǎn)．
證明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP
∴△AOE∽△AEP，
∴

AE

AO

=

AP

AE

，
∴AE²=AO•AP．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記各性質(zhì)以及菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．