Question

【題目】如圖，銳角，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，以為邊作，使，．

（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接（如圖①）

①請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系；

②試判斷四邊形的形狀，并證明；

（2）若，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接（如圖②），那么（1）②中的結(jié)論是否任然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①； ② 平行四邊形，證明見(jiàn)解析；（2）成立，證明見(jiàn)解析．

【解析】

（1）①根據(jù)，兩角有公共角，可證；

②連接EB，證明△EAB≌△DAC，可得,再結(jié)合平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定定理可得EF=DC，由此可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形為平行四邊形．

（2）根據(jù)，可證明△AED和△ABC為等邊三角形，再根據(jù)ED∥FC結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，得出∠AFC=∠BDA，求證△ABD≌△CAF，得出ED=CF，進(jìn)而求證四邊形EDCF是平行四邊形．

解：（1）①，理由如下：

∵，，,

∴，

∴；

②證明：如下圖，連接EB,

在△EAB和△DAC中

∵

∴△EAB≌△DAC（SAS）

∴,

∵，

∴,

∴，

∵，

∴,

∴,

∴,

∴

∴四邊形為平行四邊形；

（2）成立；理由如下：
理由如下：

∵，

∴，

∵AE=AD，AB=AC，

∴△AED和△ABC為等邊三角形，

∴∠B=60°，∠ADE=60°，AD=ED,

∵ED∥FC，
∴∠EDB=∠FCB，
∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB，
∴∠AFC=∠BDA，

在△ABD和△CAF中，

∴△ABD≌△CAF（AAS），
∴AD=FC，
∵AD=ED，
∴ED=CF，
又∵ED∥CF，
∴四邊形EDCF是平行四邊形．