Question

2．如圖，在△ABC=90°，D是邊AC上的一點(diǎn)，連接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一點(diǎn)，以BE為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若∠A=60°，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留根號(hào)和π）

Answer 1

分析 （1）由OD=OB得∠1=∠ODB，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，而∠A=2∠1，所以∠DOC=∠A，由于∠A+∠C=90°，所以∠DOC+∠C=90°，則可根據(jù)切線的判定定理得到AC是⊙O的切線；
（2）由∠A=60°得到∠C=30°，∠DOC=60°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CD=2$\sqrt{3}$，然后利用陰影部分的面積=S_△COD-S_扇形DOE和扇形的面積公式求解．

解答 （1）證明：∵OD=OB，
∴∠1=∠ODB，
∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，
∵∠A=2∠1，
∴∠DOC=∠A，
∵∠A+∠C=90°，
∴∠DOC+∠C=90°，
∴OD⊥DC，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：∵∠A=60°，
∴∠C=30°，∠DOC=60°，
在Rt△DOC中，OD=2，
∴CD=$\sqrt{3}$OD=2$\sqrt{3}$，
∴陰影部分的面積=S_△COD-S_扇形DOE
=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了扇形面積的計(jì)算．