Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$與x軸交于點(diǎn)B₁，以O(shè)B₁為邊長作等邊三角形A₁OB₁，過點(diǎn)A₁作A₁B₂平行于x軸，交直線l于點(diǎn)B₂，以A₁B₂為邊長作等邊三角形A₂A₁B₂，過點(diǎn)A₂作A₂B₃平行于x軸，交直線l于點(diǎn)B₃，以A₂B₃為邊長作等邊三角形A₃A₂B₃，…，則點(diǎn)A₂₀₁₇的橫坐標(biāo)是$\frac{{2}^{2017}-1}{2}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$與x軸交于點(diǎn)B₁，可得B₁（1，0），OB₁=1，∠OB₁D=30°，再，過A₁作A₁A⊥OB₁于A，過A₂作A₂B⊥A₁B₂于B，過A₃作A₃C⊥A₂B₃于C，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，分別求得A₁的橫坐標(biāo)為$\frac{{2}^{1}-1}{2}$，A₂的橫坐標(biāo)為$\frac{{2}^{2}-1}{2}$，A₃的橫坐標(biāo)為$\frac{{2}^{3}-1}{2}$，進(jìn)而得到A_n的橫坐標(biāo)為$\frac{{2}^{n}-1}{2}$，據(jù)此可得點(diǎn)A₂₀₁₇的橫坐標(biāo)．

解答 解：由直線l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$與x軸交于點(diǎn)B₁，可得B₁（1，0），D（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
∴OB₁=1，∠OB₁D=30°，
如圖所示，過A₁作A₁A⊥OB₁于A，則OA=$\frac{1}{2}$OB₁=$\frac{1}{2}$，
即A₁的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{1}-1}{2}$，
由題可得∠A₁B₂B₁=∠OB₁D=30°，∠B₂A₁B₁=∠A₁B₁O=60°，
∴∠A₁B₁B₂=90°，
∴A₁B₂=2A₁B₁=2，
過A₂作A₂B⊥A₁B₂于B，則A₁B=$\frac{1}{2}$A₁B₂=1，
即A₂的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$=$\frac{{2}^{2}-1}{2}$，
過A₃作A₃C⊥A₂B₃于C，
同理可得，A₂B₃=2A₂B₂=4，A₂C=$\frac{1}{2}$A₂B₃=2，
即A₃的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$+1+2=$\frac{7}{2}$=$\frac{{2}^{3}-1}{2}$，
同理可得，A₄的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$+1+2+4=$\frac{15}{2}$=$\frac{{2}^{4}-1}{2}$，
由此可得，A_n的橫坐標(biāo)為$\frac{{2}^{n}-1}{2}$，
∴點(diǎn)A₂₀₁₇的橫坐標(biāo)是$\frac{{2}^{2017}-1}{2}$，
故答案為：$\frac{{2}^{2017}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)找出規(guī)律，求得A_n的橫坐標(biāo)為$\frac{{2}^{n}-1}{2}$．