Question

16．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交AD于點(diǎn)E、F，連接BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H，給出下列結(jié)論：
①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP²=PH•PC
其中正確的是（　�。�

• A． ①②③④
• B． ②③
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 由正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵△BPC是等邊三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①正確；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正確；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD與△PDB不會(huì)相似；故③錯(cuò)誤；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴$\frac{DP}{PC}=\frac{PH}{DP}$，
∴DP²=PH•PC，故④正確；
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì)和定理．