Question

5．已知△ABC的內切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于點D、E、F，若$\widehat{EF}$=$\widehat{DE}$，如圖1．
（1）判斷△ABC的形狀，并證明你的結論；
（2）設AE與DF相交于點M，如圖2，AF=2FC=4，求AM的長．
 

Answer 1

分析 （1）易證∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE，即可解題；
（2）連接OB、OC、OD、OF，易證AD=AF，BD=CF可得DF∥BC，再根據AE長度即可解題．

解答 解：（1）△ABC為等腰三角形，
∵△ABC的內切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于點D、E、F，
∴∠CFE=∠CEF=∠BDO=∠BEO=90°，
∵四邊形內角和為360°，
∴∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°，
∵$\widehat{EF}$=$\widehat{DE}$，
∴∠EOF=∠DOE，
∴∠B=∠C，AB=AC，
∴△ABC為等腰三角形；
（2）連接OB、OC、OD、OF，如圖，

∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，
∴E是BC中點，BE=CE，
∵在Rt△AOF和Rt△AOD中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OF}\\{OA=OA}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOF≌Rt△AOD，
∴AF=AD，
同理Rt△COF≌Rt△COE，CF=CE=2，
Rt△BOD≌Rt△BOE，BD=BE，
∴AD=AF，BD=CF，
∴DF∥BC，
∴$\frac{AM}{AE}$=$\frac{AF}{AC}$，
∵AE=$\sqrt{{AC}^{2}{-CE}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴AM=4$\sqrt{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，考查了等腰三角形的性質，考查了圓的切線的性質，本題中求DF∥BC是解題的關鍵．