Question

2．如圖，矩形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，∠AEF=90°，以EC為直徑的⊙O與AD相切，則tan∠AFE的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 如圖，連接DE，設(shè)⊙O與AD相切于點(diǎn)M，先證明∠AFE=∠ADE=∠DEC，再證明四邊形OMDC是正方形，根據(jù)tan∠AFE=tan∠DEC=$\frac{DC}{EC}$即可解決．

解答 解：如圖，連接DE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AD∥BC，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEF+∠ADF=180°，
∴A、E、F、D四點(diǎn)共圓，
∴∠ADE=∠AFE=∠EDC，
設(shè)⊙O與AD相切于點(diǎn)M，
∵∠OMD=∠MDC=∠DCO=90°，
∴四邊形OMDC是矩形，
∵OM=OC，
∴四邊形OMDC是正方形，
∴CD=OM=OC，
∴tan∠AFE=tan∠DEC=$\frac{DC}{EC}$=$\frac{1}{2}$．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明∠AFE=∠DEC，這里用了四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，屬于中考�？碱}型．