Question

5．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC邊上的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)分別作AB，AC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．
（1）求證：DE+DF=$\frac{1}{2}$BC；
（2）當(dāng)點(diǎn)D為BC上任意一點(diǎn)，其余條件不變時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠B=∠C=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到DE=$\frac{1}{2}$BD，DF=$\frac{1}{2}$DC，兩式相加即可得出DE+DF=$\frac{1}{2}$BC．
（2）先作輔助線，構(gòu)造含30°角的直角三角形，求得CG=$\frac{1}{2}$BC，再根據(jù)面積法，求得DE+DF=CG，最后得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為E，F(xiàn)，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD，DF=$\frac{1}{2}$DC，
∴DE+DF=$\frac{1}{2}$BD+$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$（BD+DC）=$\frac{1}{2}$BC．
∴DE+DF=$\frac{1}{2}$BC．

（2）DE+DF=$\frac{1}{2}$BC成立．
理由：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于G，連接AD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=30°，
∴Rt△BCG中，CG=$\frac{1}{2}$BC，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴$\frac{1}{2}$×AB×DE+$\frac{1}{2}$×AC×DF=$\frac{1}{2}$×AB×CG，
∴DE+DF=CG，
∴DE+DF=$\frac{1}{2}$BC．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及含30度角的直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)注意：直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．