Question

18．四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=BC，AD=7，tanA=2，求CD的長．

Answer 1

分析 延長AD交BC的延長線于點E，根據(jù)∠D=∠B=90°，得到∠EDC=90°，∠DCE=∠A，由tanA=2，求得tan∠ECD=tanA=$\frac{DE}{CD}=\frac{BE}{AB}$=2，推出CE=AB=BC，設(shè)CD=x，則DE=2x，根據(jù)勾股定理得到AB=BC=CE=$\sqrt{D{E}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，BE=2$\sqrt{5}$x，然后再根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：延長AD交BC的延長線于點E，
∵∠B=∠D=90°，
∴∠EDC=90°，∠DCE=∠A，
∵tanA=2，
∴tan∠ECD=tanA=$\frac{DE}{CD}=\frac{BE}{AB}$=2，
∵AB=BC，
∴CE=AB=BC，
設(shè)CD=x，則DE=2x，
∴AB=BC=CE=$\sqrt{D{E}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∴BE=2$\sqrt{5}$x，
∵AB²+BE²=AE²，
即（$\sqrt{5}$x）²+（2$\sqrt{5}$x）²=（7+2x）²，
解得：x=$\frac{7}{3}$（負值舍去），
∴CD的長是$\frac{7}{3}$．

點評 本題考查的是解直角三角形，勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．