Question

4．二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象對稱軸是x=2；方程x²+bx+c=0的兩根分別為x₁、x₂且x₁²+x₂²=10
（1）求二次函數(shù)y=x²+bx+c的關系式；
（2）若二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸的交點分別為A、B，（A在B的左邊）點C在x軸的上方，且∠BAC=90°，BC=2$\sqrt{2}$，將△ABC沿x軸向右平移，當點C落在拋物線上時，求△ABC平移的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱軸是x=2即可求得b的值，根據(jù)方程根與系數(shù)的關系即可求得c的值，從而求得二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)解析式求得A、B的坐標，得出AB=2，然后根據(jù)勾股定理求得AC=2，把y=2代入y=x²-4x+3，即可求得A點平移后的坐標，從而求得△ABC平移的距離．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象對稱軸是x=2，
∴-$\frac{2}$=2，
∴b=-4，
∵方程x²+bx+c=0的兩根分別為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=4，x₁•x₂=c，
∵x₁²+x₂²=10，
∴（x₁+x₂）²=16，
∴x₁²+x₂²+2x₁•x₂=10+2c=16，
∴c=3，
∴二次函數(shù)的關系式為y=x²-4x+3；
（2）令y=0，則x²-4x+3=0，
解得x₁=3，x₂=1，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=3-1=2，
∵∠BAC=90°，BC=2$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{C}^{2}}$=2，
把y=2代入y=x²-4x+3得x²-4x+3=2，
解得x₁=2+$\sqrt{3}$，x₂=2-$\sqrt{3}$（舍去），
∴△ABC平移的距離為2+$\sqrt{3}$-1=1+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)圖象與幾何變換，勾股定理的應用，根據(jù)根與系數(shù)的關系求得b、c的值是本題的關鍵．