Question

5．如圖，△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC的中點(diǎn)，AD⊥BM，交BC于點(diǎn)D，連接DM，求證：∠1=∠2．

Answer 1

分析 作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△ABM≌△CAF得AM=CF，∠1=∠AFC，再證明△DMC≌△DFC，得∠2=∠AFC，所以∠1=∠2．

解答 證明：延長(zhǎng)AD至F，使CF⊥AC，
∴∠FCA=90°，
∴∠AFC+∠FAC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠FAC=90°，
∴∠AFC=∠BAD，
∵∠BAM=∠FCA=90°，AB=AC，
∴△ABM≌△CAF，
∴AM=CF，∠1=∠AFC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
∴∠BCF=90°-45°=45°，
∴∠ACB=∠BCF，
∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，
∴AM=MC，
∴MC=FC，
∵DC=DC，
∴△DMC≌△DFC，
∴∠2=∠AFC，
∴∠1=∠2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形和全等三角形的性質(zhì)和判定，難度適中，本題輔助線的作法是關(guān)鍵，能正確構(gòu)建全等三角形是本題的突破口，將所證明的兩個(gè)角分別放在兩個(gè)三角形中，確定一個(gè)中間量證明相等即可．