Question

9．如圖，細心觀察圖形，認真分析各式，然后再解答問題．${（\sqrt{1}）}^{2}$+1=2，S₁=$\frac{\sqrt{1}}{2}$${（\sqrt{2}）}^{2}$+1=3，S₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$${（\sqrt{2}）}^{2}$+1=4，S₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律（$\sqrt{n}$）²+1=n+1，S_n=$\frac{\sqrt{n}}{2}$．
（2）推算出OA₁₀的長為$\sqrt{10}$．
（3）求S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²的值．

Answer 1

分析 （1）此題要利用直角三角形的面積公式，觀察上述結(jié)論，會發(fā)現(xiàn)，第n個圖形的一直角邊就是$\sqrt{n}$，然后利用面積公式可得．
（2）由同述OA₂=$\sqrt{2}$，0A₃=$\sqrt{3}$…可知OA₁₀=$\sqrt{10}$．
（3）S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²的值就是把面積的平方相加就可．

解答 解：（1）依題意得：（$\sqrt{n}$）²+1=n+1，S_n=$\frac{\sqrt{n}}{2}$．
故答案是：${（\sqrt{n}）^2}+1=n+1，{S_n}=\frac{{\sqrt{n}}}{2}$；

（2））∵OA₁=$\sqrt{1}$，OA₂=$\sqrt{2}$，OA₃=$\sqrt{3}$，…
∴OA₁₀=$\sqrt{10}$．
故答案是：$\sqrt{10}$；

（3）S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²
=（$\frac{\sqrt{1}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+…+（$\frac{\sqrt{10}}{2}$）²，
=$\frac{1}{4}$（1+2+3+…+10）
=$\frac{55}{4}$．

點評 本題考查了勾股定理．此題的關(guān)鍵是觀察，觀察題中給出的結(jié)論，由此結(jié)論找出規(guī)律進行計算．千萬不可盲目計算．