Question

8．如圖，?ABCD中，點(diǎn)E、F為對角線AC的三等分點(diǎn)，順次連接點(diǎn)B、E、D、F．
（1）求證：四邊形BEDF為平行四邊形；
（2）若∠ABF=90°，tan∠BAF=$\frac{1}{2}$，AE=$\sqrt{5}$，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于點(diǎn)O，只要證明OD=OB，OE=OF即可．
（2）延長DE交AB于M．由tan∠BAF=$\frac{FB}{AB}$=$\frac{1}{2}$，AE=EF=$\sqrt{5}$，設(shè)BF=a，AB=2a，在RT△ABF中利用勾股定理求出a，由DM∥BF，DE=BF=2得∠DMA=∠ABF=90°，由AE=EF，EM∥AB得AM=MB=2，所以EM=$\frac{1}{2}$BF=1，DM=3，在RT△ADM中利用勾股定理可以求出AD．

解答 （1）證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OD=OB，
∵AE=EF=FC，
∴OE=OF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形．
（2）解：延長DE交AB于M．
在RT△ABF中，∵tan∠BAF=$\frac{FB}{AB}$=$\frac{1}{2}$，AE=EF=$\sqrt{5}$，設(shè)BF=a，AB=2a，
∴（2$\sqrt{5}$）²=a²+（2a）²，
∵a＞0，
∴a=2，
∴AB=4，BF=2，
∵四邊形DEBF是平行四邊形，
∴DM∥BF，DE=BF=2，
∴∠DMA=∠ABF=90°，
∵AE=EF，EM∥AB，
∴AM=MB=2，
∴EM=$\frac{1}{2}$BF=1，DM=3，
在RT△ADM中，∵AM=2，DM=3，
∴AD=$\sqrt{D{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評 本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、中位線的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用知識是解決問題的關(guān)鍵，本題的突破點(diǎn)的構(gòu)造直角三角形利用勾股定理解決問題，屬于中考常考題型．