Question

12．一個(gè)教師成功地從光譜數(shù)據(jù)$\frac{9}{5}$，-$\frac{16}{12}$，$\frac{25}{21}$，-$\frac{36}{32}$，…中得到巴爾末公式，從而打開了光譜奧秘的大門，請(qǐng)你按照這種規(guī)律，寫出第5個(gè)數(shù)$\frac{49}{45}$，那么第n（n≥1）個(gè)數(shù)據(jù)是（-1）ⁿ⁺¹$\frac{{n}^{2}+4n+4}{{n}^{2}+4n}$．

Answer 1

分析 首先根據(jù)5=1×5，12=2×6，21=3×7，32=4×8，可得第5個(gè)數(shù)的分母是5×9=45，第n個(gè)數(shù)的分母是n（n+4）；然后根據(jù)9-5=4，16-12=4，25-21=4，36-32=4，可得每個(gè)數(shù)的分母比分子多4，最后判斷出第5個(gè)數(shù)、第n個(gè)數(shù)的正負(fù)，即可求出第5個(gè)數(shù)、第n（n≥1）個(gè)數(shù)據(jù)各是多少．

解答 解：∵5=1×5，12=2×6，21=3×7，32=4×8，
∴第5個(gè)數(shù)的分母是5×9=45，第n個(gè)數(shù)的分母是n（n+4）；
∵9-5=4，16-12=4，25-21=4，36-32=4，
∴每個(gè)數(shù)的分母比分子多4，
∴第5個(gè)數(shù)的分母是45+4=49，第n個(gè)數(shù)的分母是n（n+4）+4=n²+4n+4，
∴第5個(gè)數(shù)是$\frac{49}{45}$，第n（n≥1）個(gè)數(shù)據(jù)是（-1）ⁿ⁺¹$\frac{{n}^{2}+4n+4}{{n}^{2}+4n}$．
故答案為：$\frac{49}{45}$，（-1）ⁿ⁺¹$\frac{{n}^{2}+4n+4}{{n}^{2}+4n}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了探尋數(shù)列規(guī)律問題，認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，注意觀察總結(jié)規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是分別判斷出第5個(gè)數(shù)、第n個(gè)數(shù)的分子、分母各是多少，以及它們的正負(fù)情況．