Question

4．定義：如果一條拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“特征軸三角形”．顯然，“特征軸三角形”是等腰三角形．
（1）拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-2對應(yīng)的“特征軸三角形”是④；拋物線y=x²-2$\sqrt{3}$x對應(yīng)的“特征軸三角形”是②．（把下列較恰當(dāng)結(jié)論的序號填在橫線上：①腰與底邊不相等的等腰三角形；②等邊三角形；③非等腰的直角三角形；④等腰直角三角形．）
（2）若拋物線y=ax²+2ax-3a對應(yīng)的“特征軸三角形”是直角三角形，則a的值為±$\frac{1}{2}$．
（3）如圖，面積為12$\sqrt{3}$的矩形ABCO的對角線OB在x軸的正半軸上，AC與OB相交于點E，若△ABE是拋物線y=ax²+bx+c的“特征軸三角形”，求此拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）先確定出拋物線與x軸的交點坐標(biāo)和頂點坐標(biāo)，進而求出AD，BD，即可判斷出拋物線的“特征軸三角形”；
（2）根據(jù)拋物線的“特征軸三角形”是直角三角形建立方程求解即可；
（3）先判斷出△ABE是等邊三角形，即可求出AH，BE，EH，最后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式．

解答 解：（1）設(shè)拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-2與x軸的交點坐標(biāo)為A，B，頂點為D，
∴A（-2，0），B（2，0），D（0，-2），
∴AD=BD=2$\sqrt{2}$，AD²+BD²=8+8=4²=AB²，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-2對應(yīng)的“特征軸三角形”是等腰直角三角形，
設(shè)拋物線y=x²-2$\sqrt{3}$x與x軸的交點坐標(biāo)為A，B，頂點為D，
∴A（0，0），B（2$\sqrt{3}$，0），D（$\sqrt{3}$，-3），
∴AD=BD=2$\sqrt{3}$，AB=2$\sqrt{3}$，
∴AB=AD=BD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴拋物線y=x²-2$\sqrt{3}$x對應(yīng)的“特征軸三角形”是等邊三角形，
故答案為：④，②；
（2）設(shè)拋物線y=ax²+2ax-3a與x軸的交點坐標(biāo)為A，B，頂點為D，
∴A（-3，0），B（1，0），D（-1，-4a），
∵拋物線y=ax²+2ax-3a對應(yīng)的“特征軸三角形”是直角三角形，
∴AB²=AD²+BD²，
∴16=4+16a²+4+16a²，
∴a=±$\frac{1}{2}$，
故答案為：±$\frac{1}{2}$
（3）如圖，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AE=CE=OE=BE，
∴S_△ABE=$\frac{1}{4}$S矩形ABCD=$\frac{1}{4}$×12$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∵△ABE是拋物線的“特征軸三角形”，
根據(jù)拋物線的對稱性得，AE=AB，
∴AE=AB=BE，
∴△ABE是等邊三角形，
過點A作AH⊥BE，
∴AH=ABsin∠ABE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BE，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$BE²=3$\sqrt{3}$，
∴BE=2$\sqrt{3}$，
∴AH=3，EH=$\sqrt{3}$，
∴A（3$\sqrt{3}$，3），E（2$\sqrt{3}$，0），B（4$\sqrt{3}$，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-3$\sqrt{3}$）²+3，
將點E（2$\sqrt{3}$，0）代入得，a=-1，
∴y=-（x-3$\sqrt{3}$）²+3=-x²+6$\sqrt{3}$x-24．
∴過點A，B，E三點的拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+6$\sqrt{3}$x-24．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線的“特征軸三角形”的特點，待定系數(shù)法，直角三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是判斷出△ABE是等邊三角形．