Question

19．如圖，在矩形ABCD中，H是AD上任意一點，AG∥CH交BC于點G，點E、F分別為AG、CH的中點，連接HE、FG．
（1）求證：四邊形HEGF是平行四邊形；
（2）當點G是BC的中點時，求證：四邊形HEGF是菱形．

Answer 1

分析 （1）根據矩形的性質可得AH∥CG，再由AG∥CH可得四邊形AGCH是平行四邊形，進而可得AG=HC，從而可證出EG=HF，然后可得四邊形HEGF是平行四邊形；
（2）連接BE，證明△AEH≌△GEB，進而可得EB=EH，再根據直角三角形的性質可得BE=EG=$\frac{1}{2}$AG，從而可得EH=EG，可得結論四邊形HEGF是菱形．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AH∥CG，
∵AG∥CH，
∴四邊形AGCH是平行四邊形，
∴AG=CH，
∵點E、F分別為AG、CH的中點，
∴FH=$\frac{1}{2}$CH，EG=$\frac{1}{2}$AG，
∴EG=HF，
∴四邊形HEGF是平行四邊形；

（2）連接BE，
∵G為BC中點，
∴BG=CG，
∵四邊形HEGF是平行四邊形，
∴AH=CG，
∴AH=BG，
∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠AGB，
在△AEH和△GEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=EG}\\{∠HAE=∠BGE}\\{AH=BG}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△GEB（SAS），
∴EB=EH，
∵∠ABG=90°，E為AG中點，
∴BE=EG=$\frac{1}{2}$AG，
∴EH=EG，
∴四邊形HEGF是菱形．

點評 此題主要考查了平行四邊形和菱形的判定，關鍵是掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．