Question

4．如圖，已知Rt△ACB中，∠C=90°，∠BAC=45°．
（1）用尺規(guī)作圖：在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取AD=AB，并連接BD（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
（2）求∠BDC的度數(shù)．
（3）定義：在直角三角形中，一個(gè)銳角A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切，記作cotA，即cotA=$\frac{∠A的鄰邊}{∠A的對(duì)邊}$，根據(jù)定義，利用圖形求cot22.5°的值．

Answer 1

分析 （1）以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作弧交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于D，然后連結(jié)BD；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由AD=AB得∠ADB=∠ABD，然后利用三角形外角性質(zhì)可求出∠ADB=22.5°；
（3）設(shè)AC=x，根據(jù)題意得△ACB為等腰直角三角形，則BC=AC=x，AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$x，所以AD=AB=$\sqrt{2}$x，CD=（$\sqrt{2}$+1）x，然后在Rt△BCD中，根據(jù)余切的定義求解．

解答 解：（1）如圖，

（2）∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD，
而∠BAC=∠ADB+∠ABD，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
即∠BDC的度數(shù)為22.5°；
（3）設(shè)AC=x，
∵∠C=90°，∠BAC=45°，
∴△ACB為等腰直角三角形，
∴BC=AC=x，AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{2}$x，
∴AD=AB=$\sqrt{2}$x，
∴CD=$\sqrt{2}$x+x=（$\sqrt{2}$+1）x，
在Rt△BCD中，cot∠BDC=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{（\sqrt{2}+1）x}{x}$=$\sqrt{2}$+1，
即cot22.5°=$\sqrt{2}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法；解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了解直角三角形．