Question

10．如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落住點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N
（1）求證：CM=CN；
（2）若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，DN=2，求MN的值．

Answer 1

分析 （1）連接AC，交MN于點O，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得NA=NC，MA=MC，再根據(jù)∠ANM=∠AMN，可得AN=AM，進而得到NC=MC；
（2）過點N作NH⊥BC于點H，根據(jù)△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，DN=2，即可得出MC=3ND=6，CH=DN=2，再根據(jù)勾股定理，求得Rt△CHN中，NH=$\sqrt{C{N}^{2}-C{H}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，即可得到Rt△MNH中，MN=$\sqrt{N{H}^{2}+M{H}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）如圖，連接AC，交MN于點O，則MN⊥AC，且MN平分AC，
∴NA=NC，MA=MC，
由折疊可得∠AMN=∠CMN，
由AN∥CM可得∠ANM=∠CMN，
∴∠ANM=∠AMN，
∴AN=AM，
∴CM=CN；

（2）過點N作NH⊥BC于點H，則四邊形NHCD是矩形．
∴HC=DN，NH=DC．
∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，DN=2，
∴MC=3ND=6，CH=DN=2，
∴MH=4，而CN=CM=6，
∴Rt△CHN中，NH=$\sqrt{C{N}^{2}-C{H}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴Rt△MNH中，MN=$\sqrt{N{H}^{2}+M{H}^{2}}$=$\sqrt{32+16}$=4$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及平行線的性質(zhì)的運用．解題時注意掌握輔助線的作法，構(gòu)造直角三角形，運用勾股定理進行計算求解．